Hướng dẫn, phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên qua một số ví dụ.

Bạn đang xem: Bài tập về phương trình nghiệm nguyên

Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, cực hạn, loại trừ, chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.

Tùy từng bài bác tập mà các em vận dụng một hay nhiều phương pháp để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên.


I. Phương thức 1 : thực hiện tính chẵn lẻ

Ví dụ 1: tra cứu x, y yếu tắc thoả mãn

y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta bao gồm y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta bao gồm (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , cơ mà x thành phần ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: tra cứu nghiệm nguyên dương của phương trình

(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

 Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x| + y + x2  + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|  lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = $ displaystyle -frac265$ ( loại)

Thử lại ta gồm x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

II.

Xem thêm: Giấy Vẽ Màu Nước Nabii Aqua Fat (Set 16 Tờ), Số Vẽ Màu Nước Nabii Aqua Fat Gáy Xoắn

Cách thức 2 : phương thức phân tích

Thực hóa học là thay đổi phương trình về dạng:

g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

Ví dụ 3: kiếm tìm nghiệm nguyên của phương trình

x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1

⇔ $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=1\(x+1)_^2+y=1endarray ight.$ hoặc $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=-1\(x+1)_^2+y=-1endarray ight.$

$ displaystyle left< eginarrayl1+y=1-y\-1+y=-1-yendarray ight.$

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

III. Phương pháp 3 : phương pháp cực hạn

Sử dụng so với 1 số bài toán vai trò của các ẩn đồng đẳng như nhau:

Ví dụ 4: tra cứu nghiệm nguyên dương của phương trình:

5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

phía dẫn:

Ta đưa sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

*
*
*
*
*
*
*

⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương trình có nghiệm nguyên

(x, y) = (2; -5); (-2, 3)

Ví dụ 15: search nghiệm nguyên của phương trình

x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta tất cả x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là thông số ta tất cả phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2

Ta có: $ displaystyle left{ eginarraylx_1+x_2=y+5\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ $ displaystyle left{ eginarrayl5x_1+5x_2=5y+25\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 nhưng 2 = 1.2 = (-1)(-2)

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

thay vào phương trình ta tìm kiếm được các cặp số

(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình

X. Phương pháp 10 : cần sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ 16: tìm kiếm nghiệm nguyên của phương trình

x2 –xy + y2 = 3

hướng dẫn:

Ta tất cả x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$

Ta thấy (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$ ≥ 0