- Khi triển khai các phép biến hóa trong chứng minh bất đẳng thức , ko được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều hoặc nhân bọn chúng khi chưa chắc chắn rõ vết của hai vế . Chỉ được phép nhân nhị vế của bất đẳng thức với 1 biểu thức lúc ta hiểu rõ dấu của biểu thức kia

 - Cho một vài hữu hạn các số thực thì vào đó khi nào ta cũng lựa chọn ra được số lớn số 1 và số nhỏ nhất . đặc thù này được dùng để sắp đồ vật tự những ẩn trong việcchứng minh một bất đẳng thức

 


Bạn đang xem: Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị lớp 9

*
37 trang
*
trường đạt
*
*
3262
*
8Download

Xem thêm: Xem Phim Thám Tử Lừng Danh Conan Tập 51, Thám Tử Lừng Danh Conan

Bạn đang xem 20 trang chủng loại của tư liệu "Chuyên đề Bất đẳng thức, bất phương trình, cực trị đại số", để cài tài liệu nơi bắt đầu về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD sinh hoạt trên

Bất đẳng thức , bất phương trình ,cực trị đại số - Bất đẳng thức 1. Kiến thức và kỹ năng cần lưu giữ a) Định nghĩa : cho hai số a cùng b ta có a > b a – b > 0 b) một số bất đẳng thức cơ bản : 01) những bất đẳng thức về luỹ thừa và căn thức : cùng với A là một biểu thức bất kỳ , vết bằng xảy ra khi A = 0 ; ; vệt bằng xẩy ra khi A = 0 Với lốt bằng xảy ra khi gồm ít nhất một trong các hai số bởi không với vệt bằng xẩy ra khi B = 0 02) những bất đẳng thứcvề giá trị tuyệt so với A ngẫu nhiên , dấu bằng xẩy ra khi A = 0 dấu bằng xẩy ra khi A và thuộc dấu lốt bằng xảy ra khi A cùng B cùng dấu với A> B 03) Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) : - cho các số ( trung bình nhân của n số không âm không lớn hơn trung bình cộng của bọn chúng ) lốt bằng xẩy ra khi - Bất đẳng thức Côsi cho hai số hoàn toàn có thể phát biểu dưới các dạng sau : với a và b là những số ko âm với a cùng b là các số bất kỳ Với a và b là những số ngẫu nhiên Dấu bằng xảy ra khi a = b 04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn hotline là bất đẳng thức Côsi – Svac ) : - đến hai bộ các số thực: và . Lúc ấy : vết bằng xảy ra khi : - Hoặc cùng với ai , bi không giống 0 và nếu thì khớp ứng cũng bằng 0 - Hoặc bao gồm một bộ trong hai cỗ trên có toàn số ko - Bất đẳng thức Côsi – Svac đến hai cặp số : lốt bằng xẩy ra khi ay = bx 05) Bất đẳng thức cùng với x > 0 ; cùng với x b và b > c thì a > c 02 ) đặc điểm liên quan tiền đén phép cộng : cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : ví như a> b thì a +c > b+ c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : nếu a > b cùng c > d thì a+c > b +d 03 ) Trừ nhì bất đẳng thức trái chiều : nếu như a > b với c b – d 04 ) Các đặc thù liên quan mang lại phép nhân : - Nhân 2 vế của bất đẳng thức với một vài Nếu a >b với c > 0 thì ac > bc trường hợp a > b và c b >0 cùng c > d > 0 thì ac > bd ví như a bd Luỹ thừa nhì vế của một bất đẳng thức : với tất cả Với mọi với mọi 0 m a > 1 với n > m 2. Một số điểm cần lưu ý : - Khi triển khai các phép thay đổi trong chứng minh bất đẳng thức , không được trừ nhì bất đẳng thức cùng chiều hoặc nhân bọn chúng khi chưa biết rõ vết của nhị vế . Chỉ được phép nhân nhì vế của bất đẳng thức với cùng 1 biểu thức lúc ta hiểu ra dấu của biểu thức đó - Cho một số trong những hữu hạn các số thực thì trong đó lúc nào ta cũng lựa chọn ra được số lớn số 1 và số nhỏ tuổi nhất . đặc thù này được dùng làm sắp đồ vật tự các ẩn trong việcchứng minh một bất đẳng thức 3. Một số cách thức chứng minh bất đẳng thức:3.1. áp dụng các đặc thù cơ bạn dạng của bất đẳng thứcVí dụ 1: chứng minh rằng với mọi số thức x thì :Giải :Ta tất cả : với đa số x do thế : Đúng với đa số x vết bằng xảy ra khi x = -3 lấy ví dụ như 2 : đến a, b và a+b 0 . Minh chứng rằng Giải :Ta bao gồm : Xét tử của M : vày a+b 0 đề xuất M= > 0 vày a, b quan yếu đồng thời bởi 0 3.2. Phương thức phản chứng:Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c đồng tình . Chứng tỏ rằng cả ba số này đều dương Giải- giả sử có một vài không dương: a Ê 0Từ abc > 0 ta có: bc 0 ta có: b + c > - a > 0Từ ab +bc+ac >0 ta có: bc + a(b + c) > 0 ị bc > - a (b + c) > 0 (**)Ta có (*) với (**) xích míc nhau ị đpcm.3.3. Cách thức sử dụng những bất đẳng thức cơ bản:Ví dụ 4: chứng tỏ rằng: cùng với x, y > 0. Ta bao gồm : ( 1 + x) (1 + y) (1 + )2 GiảiCách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta gồm : giải pháp 2 : Theo bất đẳng thức Cosi ta có:Dấu bằng xảy ra khi x = yVí dụ 5 : mang đến và 3a + 4 = 5 . Minh chứng rằng Giải :Cách 1 : vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta tất cả : 1Dấu bằng xảy ra khi : giải pháp 2 : tự 3a +4b = 5 ta có a= Vậy Đúng với tất cả x ví dụ như 6 : chứng minh rằng với đa số góc nhọn x ta tất cả : a ) sin x + cosx b) tgx + cotgx 2 Giải :a) áp dụng bất đẳng thức Cosi mang lại hai số dương ta gồm : sin x + cosx vệt bằng xẩy ra khi sinx = cosx xuất xắc x = 450b ) vì tgx , cotgx >0 . Vận dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số ta có ; tgx + cotgx ( do tgx . Cotgx = 1 ) lốt bằng xảy ra khi tgx = cotgx tuyệt x= 450Ví dụ 7 : đến . Chứng tỏ rằng : Giải :Ta có : áp dụng bất đẳng thức Cosicho hai số dương cùng ta bao gồm : nhưng : Vậy vết bằng xẩy ra khi a = 4 ví dụ như 8 : minh chứng rằng với mọi số thực x , y ta có : Giải :Bất đẳng thức cần chứng tỏ tương đương cùng với : Điều này đúng bởi và không đồng thời xảy ra (2x-1)2 = (y-3)2 = (x-y)2 = 0 3.4. Cách thức sử dụng đk có nghiệm của phương trình :Ví dụ9 : minh chứng rằng trường hợp phương trình:2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2Có nghiệm thì 4c2 3(a + b)2 – 8abGiảiTa có : Để phương trình bao gồm nghiệm thì : 3.5. Phương thức làm trội:Ví dụ10 : chứng minh với n N* thì:GiảiTa có: + .4. Những bài tập tự luyện :Bài 1: vào tam giác vuông ABC tất cả cạnh huyền bằng 1 , nhị cạnh góc vuông là b với c. Chứng tỏ rằng : b3 + c3 b > 0 . Minh chứng rằng b ) áp dụng so sánh và lý giải giải :Bài 1 : Theo định lý Pitago ta có một = b2 + c2 với 1> b; 1 > cVậy 1= b2 + c2 > b3 + c3Bài 2 : a) Ta có : do x2 - x +1 = với mọi x buộc phải ( Đúng )Dấu bằng xẩy ra khi x = b ) Ta tất cả : Đúng vì a +b 0; a+b > 0 nên: (*) ( Bất đẳng thức Cosi mang lại 2 số )Vậy với đa số a , b > 0 b) Đặt (x-1)2 = t thì t > 0 với x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t do 0 0 áp dụng bất đẳng thức sinh hoạt câu (a) mang đến hai số dương t cùng 1-t ta được cơ mà 4 - x2 p = 0Với x 0 ta có: p. = x = P(x + a)2 px2 + 2 apx + pa2 = x px2 + (2ap – 1) x + a2 = 0Để phương trình gồm nghiệm thì: (2ap – 1)2 – 4pa2 0 4a2p2 – 4ap + 1 – 4a2p 0 4a2p2 – 4a (a + 1)p + 1 0Giải bất phương trình bậc 2 thu được P1 phường P24. Bài tập từ luyện :Bài 1: Tìm giá trị bé dại nhất của các biểu thức sau: a) A = x2 - 6x +1 b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +2020 c) C = d ) D = 3x2+5y2 với bài xích 2 : Tìm giá chỉ trị khủng nhất của các biểu thức sau: a) M = - x2 + 4x + 7 b ) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y c) phường = ( x+1 ) (2 - x ) bài bác 3: Tìm giá bán tri lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: p. = Giải:Bài 1: a) A= (x-3)2 -8 buộc phải min A = 8 khi x = 3 b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 phải Min B = 2007 lúc x = 3; y =2 c) Điều kiện: x 0 (*). Vận dụng bất dẳng thức Cosi mang đến hai số dương ta có:Vậy MinC = 2 khi đối chiếu với (*) ta được x =-1 c) trường đoản cú Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: Vậy MinD = 2 lúc x= và y = bài xích 2: a) M = 11 - (x - 2)2 đề nghị MaxM = 11 lúc x = 2 b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 đề nghị MaxN = 2005 lúc x = 1; y = - c ) p. = ( x+1 ) (2 - x ) ( Bất đẳng thức Cosi ) Vậy MaxP = lúc x = bài bác 3: Ta có: phường = (* ) Ta thấy phường = 0 khi x = Với p. 0 thì quý giá của p. Phải thoả mãn đến phương trình (*) tất cả nghiệm với x Điều này tương tự với: Vậy MaxP = lúc x = MinP = -khi x = V.3. Bất phương trình 1. Kiến thức và kỹ năng cần ghi nhớ : - Bất phương trình số 1 : ax +b = 0 () + nếu như a > 0 bất phương trình bao gồm nghiệm + nếu a thì f(x) và thông số a thuộc dấu , khi x 0 ; A(x)B(x) b b b , b > c a > c+ + + + 3. Một trong những hằng bất đẳng thức + ; xẩy ra đẳng thức khi a = 0.+ . Xảy ra đẳng thức khi a = 04. Một số phương thức chứng minh bất đẳng thức4.1. Cần sử dụng định nghĩaĐể chứng tỏ A > B, ta xét hiệu A - B và chứng minh rằng A - B > 04.2. Dùng những phép biến đổi tương đươngĐể minh chứng A > B ta chuyển đổi tương đương trong những số đó bất đẳng thức An > Bn luôn đúng, bởi vì quá trình đổi khác là tương đương nên ta suy ra A > B là đúng.4.3. Sử dụng bất đẳng thức phụĐể minh chứng A > B, ta khởi nguồn từ một hằng bất đẳng thức hoặc một bất đẳng thức đơn giản (gọi là bđt phụ) và biến hóa tương đương suy ra A > B.II- những nhận xét và các bài toán minh hoạ cho bài toán ứng dụng, khai thác một bất đẳng thức lớp 8Nhận xét :Trong chương trình toán T.H.C.S tất cả một bất đẳng thức rất gần gũi mà việc ứng dụng của nó trong lúc giải những bài tập đại số và hình học tập rất gồm hiệu quả. Ta thường call đó là “bất đẳng thức kép”. Đó là bất đẳng thức sau :Với mọi a, b ta luôn có : (*)Nhận thấy (*) Cả tía bất đẳng thức trên đều tương đương với hằng bất đẳng thức và cho nên vì vậy chúng xẩy ra đẳng thức khi a = b.ý nghĩa của bất đẳng thức (*) là nêu phải quan hệ giữa tổng nhị số cùng với tích nhị số và với tổng các bình phương của nhì số đó.Sau đây là một số lấy ví dụ minh hoạ việc vận dụngvà khai quật bất đẳng thức (*).Bài toán 1:Cho a + b = 1 . Minh chứng rằng: ; ; * Giải : áp dụng bất đẳng thức (1) với giả thiết a + b = 1 ta có: ; .Đẳng thức xẩy ra khi a = b = 1/2.* khai thác bài toánNhận xét 1: Nếu thường xuyên áp dụng bđt (1) cùng tăng số mũ của đổi mới ta thu được các tác dụng như:Tổng quát mắng ta có vấn đề sau:Bài toán 1.1: mang lại a + b = 1 . Minh chứng rằng: bí quyết giải việc 1.1 ta áp dụng phương pháp quy nạp toán học cùng làm tựa như bài toán 1.Nhận xét 2: thường xuyên khái quát việc 1.1 khi cố gắng giả thiết a + b = 1 vì giả thiết a + b = k , làm tương tự như như bên trên ta tất cả Vậy có việc 1.2 như sau:Bài toán 1.2: mang lại a + b = k . Bệnh minh: dìm xét 3: Từ bài toán 1.2 ví như ta chũm giả thiết a + b = k vì chưng b = k - a ta được câu hỏi 1.3:Chứng minh : với tất cả k .* khai thác sâu bài toánNhận xét 1: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) thường xuyên 2 lần ta có kết quả:Tổng quát ta có bài toán sau:Bài toán1.4:Chứng minh : a) b) nhận xét 2: Nếu vận dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp nhiều lần và tăng số đổi thay ta có:.Vậy có bài toán 1.5:Chứng minh: Cứ liên tiếp suy luận sâu không chỉ có vậy ta thu được không ít bài toán tổng thể hơn.Bài toán 2: đến a, b, c > 0.Chứng minh rằng: * Giải: áp dụng bất đẳng thức (2) ta có : (vì a, b, c > 0) ( vì chưng (a+b)(b+c)(c+a) > 0 và 8abc > 0).Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .* khai thác bài toánNhận xét 1: Nếu mang đến a, b, c > 0 cùng a + b + c = 1. Khi ấy ta có một - a, 1- b, 1 - c > 0 và có một + c = 1 + 1 - a - b = (1 - a ) + (1 - b ). áp dụng bài toán 2 ta được : Vậy có việc 2.1:Cho a, b, c > 0 cùng a + b + c = 1. Hội chứng minh: thừa nhận xét 2: Ta liên tiếp khai thác sâu hơn bài xích toán bằng cách cho a + b + c = n > 0 . Khi đó tựa như như việc 2.1 ta có câu hỏi 2.2:Cho a, b, c > 0 cùng a + b + c = n > 0. Chứng tỏ : việc 3:Chứng minh rằng với tất cả a, b, c ta tất cả : * Giải : áp dụng bất đẳng thức (3) ta gồm : đ.p.c.mCó đẳng thức lúc a = b = c.* khai quật bài toánNhận xét 1 : Nếu vận dụng bài toán 3 với tăng số nón lên, giữ nguyên số vươn lên là ta tất cả (*) lại vận dụng bài toán 3 đợt nữa ta gồm (**) . Tự (*) cùng (**) ta thu được tác dụng là . Vậy có câu hỏi 3.1:Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta gồm : .Nhận xét 2: giả dụ tăng số biến hóa và giữ nguyên số nón của biến đổi với cách làm như câu hỏi 3 ta có việc 3.2:Chứng minh rằng: với mọi Bài toán 4 :Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d ta có :* Giải :áp dụng bất đẳng thức (3) ta tất cả : đ.p.c.mCó đẳng thức lúc a = b = c = d* khai thác bài toánNhận xét 1: Nếu thay b = c = d = 1 ta gồm bđt Vậy có bài toán 4.1:Tìm giá chỉ trị nhỏ dại nhất của A = thừa nhận xét 2: Nếu khai quật bài toán 4 theo hướng tăng số biến, số mũ lên, ta Có vấn đề tổng quát sau:Bài toán 4.2:Chứng minh rằng với mọi số cùng với ta có:.Bài toán 5 :Cho a + b + c + d = 2 . Chứng minh : * khai quật bài toánNhận xét 1: Nếu nỗ lực hằng số 2 ở giả thiết vì chưng số k ta được kết quả . Vậy có câu hỏi tổng quát hơn hẳn như là sau:Bài toán 5.1:Cho a + b + c + d = k . Chứng minh : dìm xét 2: Ta còn hoàn toàn có thể tổng quát vấn đề 5.1 ở tầm mức độ cao hơn bằng phương pháp tăng số đổi thay của câu hỏi . Khi ấy bài toán 5.1 chỉ cần trường phù hợp riêng của việc sau:Bài toán 5.2:Cho = k . Bệnh minh: cùng với Để giải câu hỏi này thì cả hai cách làm của việc 5 nghỉ ngơi trên chuyển vào vận dụng không hợp lý, ta sẽ làm như sau:áp dụng bđt (3) ta có: ; ; ; (vì ) (đ.p.c.m). Từ kia suy ra : cùng với (1.1)Vậy có vấn đề 5.3: chứng minh: với .Đặc biệt hoá với n = 5, n = 7, ta được những vấn đề như : chứng minh : . Ví dụ những bđt này nếu sử dụng cách thức dùng định nghĩa hoặc biến đổi tương đương thì khôn xiết khó giải quyết và xử lý .* khai thác sâu bài bác toánNếu thường xuyên nâng số mũ lên cao hơn theo cách khai thác của việc 1.4 ta thu được kết quả tổng quát không dừng lại ở đó chẳng hạn:Bài toán 5.4:Chứng minh: a) cùng với b) cùng với c) cùng với (1.2)Rõ ràng các bất đẳng thức này còn chặt hơn cả bđt Cô Si và cũng ko cần điều kiện gì của biến.Tiểu kết 1: Trên đây ta đã khai thác và cách tân và phát triển từ những bài bác toán dễ dàng để thu được những việc mới, những công dụng mới tổng quát hơn.Bất đẳng thức (1.1) là trường hợp tổng quát của bất đẳng thức (1) khi ta khai quật theo hướng tăng số biến chuyển của bài bác toán.Bất đẳng thức (1.2) là ngôi trường hợp bao quát của bất đẳng thức (1) khi ta khai quật theo phía tăng cả số mũ cùng số biến.Tiểu kết 2:Để khai thác, cách tân và phát triển một vấn đề về bất đẳng thức ta hoàn toàn có thể đi theo một trong những hướng như sau: Hướng đầu tiên : tổng quát hoá các hằng số gồm trong bài toán, ví dụ như như các bài toán 1.2; 2.2; 5.1; 6.1; 8.1; 9.1; 10.2; 12.1Hướng thứ hai : không thay đổi số đổi mới và tăng số mũ của những biến dẫn đến tổng quát hoá số mũ, ví dụ những bài toán 1.1; 1.4Hướng thứ ba : không thay đổi số mũ với tăng số biến của các biến dẫn đến tổng quát hoá số biến, ví dụ các bài toán 1.5; 3.1; 6.3; 9.2; 10.3Hướng thứ bốn : bao quát hoá lẫn cả về số mũ với số biến, ví dụ như các bài toán 4.2; 5.2; 5.4Hướng sản phẩm công nghệ năm : Đổi biến, đặc biệt hoá từ bài toán tổng quát, lấy một ví dụ như các bài toán 2.1; 4.1; 5.3; 6.2 Trên đó là các ví dụ vận dụng bđt (*) vào việc giải các bài toán đại số và một vài phương hướng để khai thác một bài xích toán. Công dụng thu được sau khoản thời gian khai thác bđt (1) là bđt : cùng với (1.1) cùng bđt: với (1.2)Hoàn toàn giống như như bên trên ( minh chứng bằng quy hấp thụ toán học ) ta cũng có tác dụng khi khai quật bđt (2) như sau: cùng với (2.1)Từ bđt (1.2) với bđt (2.1) ta bao gồm bđt tổng thể của bđt (*) như sau: cùng với (*.1) do vậy khi làm xong xuôi một bài toán mặc dù cho là bài toán dễ dàng , người làm toán tránh việc thoả mãn tức thì với lời giải của bản thân mà nên tiếp tục để ý đến những vụ việc xung quanh bài toán, search ra những bài toán bắt đầu hay hơn, tổng thể hơn, sau đó đặc trưng hoá vấn đề tổng quát để sở hữu được những bài xích toán khác biệt hơn, thú vị hơn. Điều kia làm cho tất cả những người học toán ngày dần say mê cỗ môn, đồng thời cũng là biện pháp rèn luyện bốn duy, phân tích để sở hữu kho tàng học thức của nhân loại. MOÄT KYế THUAÄT CHệÙNG MINH BAÁT ẹAÚNG THệÙC COÙ ẹIEÀU KIEÄN ===========Trong moọt soỏ baứi toaựn Baỏt ủaỳng thửực coự moọt soỏ khaự nhieàu baứi toaựn chửựng minh maứ caực aồn coự ủieàu kieọn raứng buoọc; daùng: “Cho C D. Chửựng minh A B”Coự moọt kyừ thuaọt ủeồ chửựng minh laứ ta ủi tửứ chửựng minh: (A – B) + (D –C) 0; khi ủoự tửỷ ủieàu kieọn C D ta suy ra ủửụùc A BSau ủaõy laứ moọt soỏ vớ duù:Baứi toaựn 1: cho a + b 1. Chửựng minh raống: a2 + b2 1/2Giaỷi: Ta coự (a2 + b2 – 1/2) + (1 – a – b) = a2 + b2 – a – b – 50% = (a2 – a + 1/4) + ( b2 – b + 1/4) = (a – 1/2)2 + (b – 1/2)2 0. Maứ a + b 1 suy ra: 1 – a – b 0 => a2 + b2 – 50% 0 hay a2 + b2 1/2Baứi toaựn 2: Chửựng minh raống neỏu a + b 2 thỡ a3 + b3 a4 + b4Giaỷi: Ta coự: (a4 + b4 – a3 + b3) + ( 2 – a – b) = a4 – a3 – a + 1 + b4 – b3 – b + 1 = = (a – 1)(a3 – 1) + (b -1)(b3 – 1) = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) 0Maứ a + b 2 => 2 – a – b 0 => a4 + b4 – a3 + b3 0 => a3 + b3 a4 + b4Baứi toaựn 3: mang lại x, y laứ caực soỏ dửụng thoaỷ maừn: x3 + y4 x2 + y3. Chửựng minh raống:x3 + y3 x2 + y2 vaứ x2 + y3 x + y2Giaỷi: a/ Ta coự: (x2 + y2 – x3 – y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = y2 – 2y3 + y4 = y2(y – 1)2 0Maứ x3 + y4 x2 + y3 => x3 + y4 – x2 – y3 0 => x3 + y3 x2 + y2b/ Ta coự: (x + y2 – x2 + y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = x – 2x2 + x3 + y2 – 2y3 + y4 == x(1 – x)2 + y2(y – 1)2 0 (vỡ x > 0)Maứ x3 + y4 x2 + y3=> x3 + y4 – x2 – y3 0 => x2 + y3 x + y2Baứi toaựn 4: Chửựng minh raống neỏu: a + b + c 3 thỡ a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3 Giaỷi: Ta coự: (a4 + b4 + c4 – a3 – b3 – c3) + (3 – a – b – c) = = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) + (c – 1)2(c2 + c + 1 0Maứ: a + b + c 3 => 3 – a – b – c 0 => a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3Baứi toaựn 5: mang lại x, y laứ caực soỏ dửụng thoaỷ maừn x3 + y3 = x – y. Chửựng minh raống: x2 + y2 0 ( vỡ x; y > 0)=> x2 + y2