Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên là một vào những siêng đề bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp 2 dành riêng cho học sinh hơi giỏi.
Bạn đang xem: Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên thcs
Ở bài viết này, Gia sư Tiến Bộ phân chia sẻ với những em một số phương pháp thường sử dụng để giải tìm kiếm nghiệm nguyên của phương trình.
Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên:
* Chú ý: Tùy từng bài xích mà những em áp dụng một giỏi kết hợp nhiều phương pháp để giải bài toán PT nghiệm nguyên.
1. Sử dụng tính chẵn lẻ để giải PT nghiệm nguyênVí dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn: y2 – 2x2 = 1
Hướng dẫn:
Ta tất cả y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ
Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta bao gồm (2k + 1)2 = 2x2 + 1
⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , nhưng mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105
Hướng dẫn:
Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105
Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn
2|x|+ y + x2 + x = 2|x|+ y + x(x+ 1) lẻ
có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|lẻ ⇒ 2|x|= 1 ⇒ x = 0
Thay x = 0 vào phương trình ta được
(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0
⇒ y = 4 hoặc y =
Thử lại ta gồm x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình
2. Dùng phương pháp phân tích để giải PT nghiệm nguyênThực chất là biến đổi phương trình về dạng:
g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x2,…., xn) = a
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2
Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1
⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1
⇔
⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2
Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )
3. Sử dụng phương pháp cực hạn để giải PT nghiệm nguyênSử dụng đối với 1 số việc vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:
Ví dụ 4: tìm kiếm nghiệm nguyên dương của phương trình:
5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
Hướng dẫn:
Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1
Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
⇔
* Với
Nếu
⇔
Ta được nghiệm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của chúng
Với
* Với
Do x≥ y≥z ≥ 2 cần 8x – 5 ≥ 8y – 5 ≥ 11
⇒ (8x – 5) (8y – 5) = 265 vô nghiệm
vậy nghiệm của phương trình là bộ (x, y, z)
= ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị
4. Phương pháp loại trừ để giải PT nghiệm nguyênKhẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của ẩn.
Xem thêm: Top 10 Ca Khúc Phụ Hay Nhất Của Exo, Tuyển Tập Những Ca Khúc Hay Nhất Của Exo
Ví dụ 5: tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
1! + 2! + … + x! = y2
Hướng dẫn:
Với x ≥ 5 thì x! tất cả tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! bao gồm tận thuộc là 3
Þ 1! + 2! + … + x! gồm tận thuộc là 3, ko là số chủ yếu phương (loại)
Vậy x Ví dụ 6: kiếm tìm tất cả những nghiệm nguyên của phương trình: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x
Hướng dẫn:
Ta tất cả : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x ⇔ 4 y2+4y+1=4 x4 + 4 x3 + 4x2 + 4x+1
⇒ (2x2 + x ) 2 – (2y + 1)2 = (3x + 1) (x +1)
hay (2x2 + x + 1) 2 – (2y+ 1)2 = x(x-2)
Ta thấy:
Nếu x> 0 hoặc x 0
Nếu x > 2 hoặc x 0
⇒ Nếu x>2 hoặc x2 + x) 2 2 + x + 1) 2 (loại)
⇒ -1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x = 0, 1, -1, 2
Xét x = 2 ⇒ y2 + y =30 ⇒ y = 5 hoặc y= -6
Xét x= 1 ⇒ y2 + y = 4 (loại)
Xét x = 0 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y (y + 1) = 0 ⇒ y = 0 hoặc y = -1
Xét x = -1 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y = 0 hoặc y= -1
Vậy nghệm nguyên của phương trình là:
(x,y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1;0); (-1, -1)
5. Cần sử dụng chia hết và tất cả dư để giải PT nghiệm nguyênVí dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – 2y2 = 5
Hướng dẫn:
và x2 phân chia cho 5 có những số dư 1 hoặc 4
y2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4 ⇒ 2y2 phân tách cho 5 dư 2 hoặc 3
⇒ x2 – 2 y2 chia cho 5 dư ±1 hoặc ±2 (loại)
Vậy phương trình x2 – 2y2 = 5 vô nghiệm.
Ví dụ 8: search x, y là số tự nhiên thoả mãn
x2 + 3y= 3026
Hướng dẫn:
Xét y = 0 ⇒ x2 + 30 = 3026 ⇒ x2 = 3025
mà xº ∈ N ⇒ x = 55
Xét y > 0 ⇒ 3y phân tách hết mang lại 3, x2 phân chia cho 3 dư 0 hoặc 1
⇒ x2 + 3ychia mang đến 3 dư 0 hoặc 1
mà 3026 chia cho 3 dư 2 (loại)
Vậy nghiệm (x,y) = (55,0)
6. Sử dụng tính chất của số nguyên tố để giải PT nghiệm nguyênVí dụ 9: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn: xy + 1 = z
Hướng dẫn:
Ta bao gồm x, y nguyên tố với xy + 1 = z ⇒ z > 3
Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn ⇒ x = 2
Xét y = 2 ⇒ 22 + 1 = 5 là nguyên tố ⇒ z = 5 (thoả mãn)
Xét y> 2 ⇒ y = 2k + 1 (k ∈ N) ⇒ 22k+1 + 1 = z ⇒ 2. 4k + 1 = z
Có 4 phân tách cho 3 dư 1 ⇒ (2.4k+1) chia hết mang lại 3 ⇒ z chia hết cho 3 không thỏa mãn (loại)
Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn
7. Đưa về dạng tổng để giải PT nghiệm nguyênVí dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 – x – y = 8
Hướng dẫn:
Ta bao gồm x2 + y2 –x – y = 8 ⇒ 4 x2 + 4 y2 – 4 x –4y = 32
⇔ (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 ⇔ (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34
Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ bao gồm duy nhất 1 dạng so sánh thành tổng của 2 số thiết yếu phương 32 cùng 52
Do đó ta bao gồm
Giải ra ta được (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) và những hoán vị của nó.
Ví dụ 11: tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 – 4xy + 5y2 = 169
Hướng dẫn: Ta tất cả x2 – 4xy + 5y2 = 169 ⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169
Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122
Giải ra ta được (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0)
8. Sử dụng phương pháp lùi vô hạn để giải PT nghiệm nguyênVí dụ 12: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – 5y2 = 0
Hướng dẫn:
Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x2 – 5y2 = 0
ta bao gồm
Ta tất cả
Vây nếu (xo;yo) là nghiệm của phương trình đã cho thì
Vậy phương trình gồm nghiệm duy nhất là x = y = 0.
Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 + z2 = x2 y2
Hướng dẫn:
Nếu x, y đều là số lẻ ⇒ x2 , y2 phân tách cho 4 đều dư 1
Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1
Ta tất cả x+ y+z= xy
lập luận tương tự ta có x+ y+ z= 16 xy
Quá trình này cứ tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) là nghiệm của phương trình thì
⇒x1 = y1 = z1 = 0
Vậy phương trình gồm nghiệm là (0, 0, 0)
9. Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 để giải PT nghiệm nguyênBiến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá chỉ trị của tham số.
Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
Hướng dẫn:
Ta tất cả PT: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
⇒ y2 + (4x + 2)y + 3 x2 + 4x + 5 = ) (*) coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt (*) ẩn y ta có
Do y nguyên, x nguyên
Mà
⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2
Vậy phương trình gồm nghiệm nguyên
(x, y) = (2; -5); (-2, 3)
Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0
Hướng dẫn:
Ta có x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2
Ta có:
⇒
⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23
⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 nhưng mà 2 = 1.2 = (-1)(-2)
⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2
thay vào phương trình ta tra cứu được những cặp số
(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình
10. Sử dụng bất đẳng thức để giải PT nghiệm nguyênVí dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 –xy + y2 = 3
Hướng dẫn:
Ta có x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- )2 = 3 –
Ta thấy (x-)2= 3 –≥ 0
⇒ -2≤ y≤ 2
⇒ y= ± 2; ±1; 0 cầm cố vào phương trình tìm x
Ta được những nghiệm nguyên của phương trình là :
(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1)
Bài tập phương trình nghiệm nguyên có lời giải:
